1 + 1 はなぜ 2 になる？ ― コンピューターが足し算する仕組みを「半加算器」から覗いてみる

「1 + 1 = 2」という当たり前の計算を、コンピューターはどうやって実行しているのでしょうか。コンピューターの中にあるのは「電気が流れているか、流れていないか」の2通りだけです。数字も文字も画像も音も、すべて 0 と 1 の並びに置き換えて処理しています。

この記事では、コンピューターが足し算をする仕組みのいちばん基礎にあたる「半加算器（Half Adder）」という回路を、初心者向けに説明します。最後に、半加算器をブラウザで動かせる Web アプリも紹介します。

コンピューターの世界は「0」と「1」だけ

コンピューターの内部では、すべての情報を 2 進数（バイナリ）で表します。2 進数は、0 と 1 の2種類の数字だけで数を表す方法です。

普段使っている 10 進数は、0〜9 の10種類の数字を使い、9 の次で桁が上がって「10」になります。2 進数は 0 と 1 しかないので、1 の次でもう桁が上がり「10」になります。

10 進数	2 進数
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101

つまりコンピューターの世界では、「1 + 1」の答えは「10」（2 進数で 2）になります。

2 進数を使うのは、電気回路にとって「ON / OFF」（電圧が高い／低い）の2つの状態を扱うのが、いちばんシンプルで誤りが少ないからです。10 段階の電圧を区別するより、2 段階だけを判別するほうが、ノイズなどで電圧が多少ずれても正しく読み取れます。

「論理」で計算する ― ブール代数とは

コンピューターは 0 と 1 を保存するだけでなく、計算もします。その土台になっているのが、ブール代数（Boolean Algebra）という数学の一分野です。19 世紀の数学者ジョージ・ブールが考えたもので、「真（True / 1）」と「偽（False / 0）」の2つの値だけを扱い、それらを組み合わせて新しい結果を導きます。

この「かつ」の部分が、ブール代数の演算にあたります。条件の組み合わせから結論を導くこのルールを、コンピューターは電気回路で実現しています。ブール代数をスイッチの回路に当てはめられることは、1930 年代後半にクロード・シャノンが示しました。それを担う部品が、次の論理ゲートです。

論理ゲート ― コンピューターの「考える部品」

論理ゲートは、0 と 1 の入力を受け取り、決まったルールで 0 か 1 を出力する小さな部品です。ここでは、半加算器を理解するのに必要な3つの基本ゲートを紹介します。

AND ゲート（論理積）

両方の入力が 1 のときだけ 1 を出力します。さきほどの「雨が降っている、かつ外出する」のような関係です。

A	B	A AND B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR ゲート（論理和）

どちらか一方でも 1 なら 1 を出力します。半加算器では使いませんが、後で出てくる全加算器で使います。

A	B	A OR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

XOR ゲート（排他的論理和）

どちらか一方だけが 1 のときに 1 を出力し、両方 1 だと 0 になります。OR と似ていますが、両方 1 のときに 0 になるのがポイントです。「A と B が違う値のときだけ 1 になる」とも言えます。この性質が、足し算で活躍します。

A	B	A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

足し算は AND と XOR でできる

ここからが本題です。2 進数で「1 桁 + 1 桁」の足し算を、すべてのパターンで書き出してみます。

A	B	A + B（2 進数）	10 進数
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	10	2

結果を「下の桁（1 の位）」と「上の桁（桁上がり）」に分けると、次のようになります。

A	B	下の桁（Sum）	上の桁（Carry）
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

下の桁（Sum）の列は XOR の表と、上の桁（Carry）の列は AND の表とまったく同じです。つまり、1 桁 + 1 桁の足し算は、次の2つの論理ゲートだけで表せます。

出力	求め方
Sum（和、下の桁）	A XOR B
Carry（桁上がり、上の桁）	A AND B

これが「半加算器（Half Adder）」

XOR で和を、AND で桁上がりを求めるこの回路が、半加算器（Half Adder）です。入力 A と B は、それぞれ XOR ゲートと AND ゲートの両方に入ります。

「1 + 1 = 2」を半加算器で追ってみる

A = 1、B = 1 を入れたときの動きを、順番に追ってみます。

順番	ゲート	計算	結果
1	入力	A = 1、B = 1	―
2	XOR	1 XOR 1 = 0	Sum は 0
3	AND	1 AND 1 = 1	Carry は 1
4	並べる	Carry（上の桁）、Sum（下の桁）の順	10（2 進数）＝ 10 進数の 2

これが、コンピューターが「1 + 1 = 2」を計算している瞬間です。XOR と AND という2つの単純なゲートを組み合わせるだけで、足し算が成り立っています。

なぜ「半」加算器なのか

半加算器が「半（Half）」と呼ばれるのは、下の桁からの桁上がりを受け取る入力がないからです。1 桁目の足し算はこれでできますが、2 桁目からは A と B に加えて、下の桁から繰り上がってきた値（Carry in）も足す必要があります。

この3つの入力を足せる回路が、全加算器（Full Adder）です。全加算器は、半加算器を2つと OR ゲートを1つ組み合わせて作れます。

全加算器を桁の数だけ並べ、各桁の Carry out を次の桁の Carry in につなぐと、8 ビットや 64 ビットといった大きな数の足し算ができます（このつなぎ方をリップルキャリー加算器と呼びます）。8 ビットなら 0〜255 の 256 通りの数を扱えます。実際の CPU では、桁上がりを速く求めるための工夫（キャリー先読み加算器など）も使われますが、土台にあるのは同じ考え方です。半加算器は、コンピューターの計算のいちばん根っこにある部品と言えます。

ちょっとした罠 ― オーバーフロー

コンピューターは XOR と AND で足し算ができることが分かりました。ただし、コンピューターには苦手なこともあります。それがオーバーフロー（桁あふれ）です。

たとえば「1 桁分しか保存できない箱」に 1 + 1 の結果を入れようとすると、答えの「10」は2桁なので入りきりません。上の桁（Carry）が箱からはみ出して捨てられ、「1 + 1 なのに答えが 0」という結果になります。桁数が増えても同じで、8 ビットの箱では 255 + 1 の答えが 0 になります（0〜255 を扱う符号なしの場合）。

箱の大きさ	計算	本当の答え（2 進数）	箱に残る値
1 ビット	1 + 1	10	0
8 ビット	255 + 1	1 0000 0000	0000 0000（0）

オーバーフローは、現実のシステムでも問題を起こしています。

• ボーイング 787 では、発電機制御ユニットのソフトウェアのカウンタが 248 日間の連続通電でオーバーフローし、すべての交流電源を失うおそれがあるとして、2015 年に米国連邦航空局（FAA）が耐空性改善命令を出しました。
• アーケードゲームの「パックマン」では、整数のオーバーフローが原因で 256 面が正しく表示されず、クリアできなくなります。

コンピューターは万能に見えて、保存できる桁数の上限には常に縛られています。

実際に体験してみよう

ブラウザ上で半加算器を動かせる Web アプリを用意しました。次のことができます。

• A と B のスイッチを切り替えて、入力を変える
• 「クロック投入」ボタンで信号を回路に流す
• XOR ゲート、AND ゲートを通って結果が出てくる様子を見る
• 真理値表（この記事の表）が、入力に合わせてハイライトされる
• 「1 + 1 = 2」のプリセットで、すぐに試せる
• オーバーフローも再現できる

半加算器シミュレーター：半加算器シミュレーターを体験する

手を動かしてから、もう一度この記事を読み返すと、理解が深まると思います。

まとめ

項目	ポイント
2 進数	コンピューターは 0 と 1 の 2 進数ですべての計算をしている
ブール代数	真（1）と偽（0）の2つの値を扱う数学のルール
論理ゲート	ブール代数の基本演算（AND、OR、XOR など）を電気回路で実現した部品
半加算器	1 桁 + 1 桁の足し算をする回路。XOR で和（Sum）、AND で桁上がり（Carry）を求める
全加算器	下の桁からの桁上がりも足せる回路。半加算器2つと OR ゲートで作れる
多桁の足し算	全加算器を並べて桁上がりをつなぐと、8 ビットや 64 ビットの足し算になる
オーバーフロー	答えが保存できる桁数を超えると、上の桁が捨てられる

電卓もスマホもスーパーコンピューターも、突き詰めれば、こうした論理ゲートの組み合わせを膨大な数だけ集めてできています。もっと知りたくなった方は、次は全加算器、そして CPU の ALU（算術論理演算装置）へと進んでみてください。